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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A546. Tours babéliennes Imprimer Envoyer
A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n
calculator_edit.png  

L’entier T(k,n) = n^n^n^...^n, n apparaissant k fois dans la tour des exposants, est appelé par convention « tour babélienne de k étages et de n appartements par étage ». On rappelle qu’en l’absence de parenthèses dans l’expression de T(k,n),les exposants sont toujours pris du haut vers le bas. C’est ainsi que T(3,3) = 3^3^3 est égal à 3^(3^3) = 3^27= 7 625 597 484 987  et non pas à  (3^3)^3 = 27^3 = 19683 avec les exposants pris de bas en haut.
Pb n°1 On considère la séquence des restes de la division par 2011 des tours babéliennes de  1,2,3,...,k,... étages et de 2 appartements par étage. Démontrer qu’à partir d’un certain rang les termes de la séquence sont constants.
Pb n°2 Trouver la plus petite tour babélienne de k étages telle que la différence T(k+1,n) – T(k,n) avec la tour qui a un étage de plus et le même nombre n d’appartements par étage est divisible par 2011 quel que soit l’entier n.



Jean Moreau de Saint Martin,Fabien Gigante,Pierre Henri Palmade et Maurice Bauval ont résolu tout ou partie du problème.
Jean Drabbe nous signale un article trés intéressant de D.Shapiro & S. Shapiro qui décrit tous les ingredients d'une solution de ce problème.
 
 
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