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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

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Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

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Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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A4915. Triangulaire en 3D Imprimer Envoyer
A4. Equations diophantiennes

calculator_edit.png  

On considère les nombres triangulaires T de la forme k(k+1)/2 avec k entier qui sont en même temps la somme de deux cubes parfaits et la différence de deux cubes parfaits T = A3 + B3 = C3 - D3 avec D = B + 1.
L'entier 91 est le plus petit T tel que pour k = 13: 91 = 33 + 43 = 63 − 53  avec B = 4, D = 5 = B + 1.
Q1 Déterminer le deuxième nombre triangulaire T qui vient après 91 et a la même propriété.
Q2 Déterminer le nombre de chiffres du 2020ième nombre triangulaire T qui lui aussi a cette propriété..



Nos lecteurs ont trouvé deux familles distinctes de suites de nombres triangulaires qui satisfont les conditions de l'énoncé. L'une et l'autre donnent le même deuxième terme = 48427561 = 9841*9842/2 = 3603 + 1213 = 3693 – 1223 mais les formules générales diffèrent pour tout   k >2 avec d'une part Tk = (36.(2k – 1)12 – )/8 qui donne un 2020ième terme de 46 chiffres et d'autre part Tk = (36(2k-1) – 1)/8 qui donne un 2020ième terme de 11562 chiffres.  Anotre que la seconde famille de solutions est un sous-ensemble de la première ; la solution de rang 2020 dans la seconde a le rang (3^2019+1)/2 dans la première.
Une analyse des 10000 premiers nombres triangulaires par ordinateur montre que quelle que soit la suite de nombres triangulaires qui respectent les conditions de l'énoncé le deuxième nombre triangulaire qui vient après 91 est nécessairement 48427561.
pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfDaniel Collignon,pdfElie Stinès,pdfJean-Louis Legrand,pdfPierre Leteurtre,pdfAntoine Verroken et pdfJacques Guitonneau ont résolu tout ou partie du problème.

 
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