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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A4. Equations diophantiennes A4915. Triangulaire en 3D
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A4. Equations diophantiennes A4915. Triangulaire en 3D
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| A4915. Triangulaire en 3D |
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| A4. Equations diophantiennes |
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On considère les nombres triangulaires T de la forme k(k+1)/2 avec k entier qui sont en même temps la somme de deux cubes parfaits et la différence de deux cubes parfaits T = A3 + B3 = C3 - D3 avec D = B + 1.
L'entier 91 est le plus petit T tel que pour k = 13: 91 = 33 + 43 = 63 − 53 avec B = 4, D = 5 = B + 1. Q1 Déterminer le deuxième nombre triangulaire T qui vient après 91 et a la même propriété. Q2 Déterminer le nombre de chiffres du 2020ième nombre triangulaire T qui lui aussi a cette propriété.. Nos lecteurs ont trouvé deux familles distinctes de suites de nombres triangulaires qui satisfont les conditions de l'énoncé. L'une et l'autre donnent le même deuxième terme = 48427561 = 9841*9842/2 = 3603 + 1213 = 3693 – 1223 mais les formules générales diffèrent pour tout k >2 avec d'une part Tk = (36.(2k – 1)12 – )/8 qui donne un 2020ième terme de 46 chiffres et d'autre part Tk = (36(2k-1) – 1)/8 qui donne un 2020ième terme de 11562 chiffres. Anotre que la seconde famille de solutions est un sous-ensemble de la première ; la solution de rang 2020 dans la seconde a le rang (32019+1)/2 dans la première. Une analyse des 10000 premiers nombres triangulaires par ordinateur montre que quelle que soit la suite de nombres triangulaires qui respectent les conditions de l'énoncé le deuxième nombre triangulaire qui vient après 91 est nécessairement 48427561.  Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Elie Stinès,Jean-Louis Legrand,Pierre Leteurtre,Antoine Verroken et Jacques Guitonneau ont résolu tout ou partie du problème. |
