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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

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A426. Le partage du trésor Imprimer Envoyer
A4. Equations diophantiennes
calculator_edit.png  

Des pirates d’âges tous différents se répartissent en quatre groupes d’effectifs identiques pour récupérer p pièces d’or enfouies dans l’Ile au Trésor. Pour la répartition du butin, ils se regroupent et conviennent des règles suivantes :

-Ils se mettent tous sur une seule rangée par ordre décroissant d’âge, le doyen occupant la première position 1 jusqu’au plus jeune qui occupe la dernière position.
-Initialement le doyen a entre les mains les p pièces d’or. Quand le plus âgé de deux pirates placés côte à côte détient 2 pièces (ou plus) de plus que son voisin, il donne une pièce à ce dernier.
-Quand il n’y a plus de mouvement de pièces possible, la répartition des pièces se fait selon la configuration finale.

Ils opèrent selon ces règles mais plusieurs pirates parmi les plus jeunes contestent la configuration finale, arguant qu’elle dépend de l’ordre dans lequel se sont effectués les mouvements intermédiaires de pièces.

Q1 Démontrer que les contestataires ont tort et que la configuration finale est unique.

Q2 Deux pirates se retrouvent avec le même nombre de pièces et le produit des numéros de leur position dans la rangée est égal au nombre total de pièces. Trouver n et p.



Ce problème est une variante du problème n°C7 retenu dans la liste des problèmes présélectionnés pour les Olympiades Internationales 2001 de Mathématiques.On lira avec intérêt la solution de A426-IMO2001-C7 notamment pour la démonstration de l'unicité de la configuration finale.
Patrick Gordon de son côté a résolu le problème et obtenu n = 32 pirates se partageant p = 506 pièces en réponse à Q2

 
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