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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A465. Diophante au casino Imprimer Envoyer
A4. Equations diophantiennes
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Diophante se rend avec plusieurs amis au casino de Jocus-les-Bains qui vient de lancer un nouveau jeu dont les règles sont pour le moins originales. N personnes sont réunies autour d'une table et jouent N-1 parties de cartes. Au début de chaque partie, tout joueur encore présent mise une somme M ( nombre entier en ?) versée à la banque. A l'issue de chaque partie, il y a un seul perdant qui, avant de quitter la table, distribue en parts égales aux autres joueurs la somme d'argent en sa possession . Le jeu s'arrête quand il n'y a plus qu'un seul joueur avec une somme T positive en poche.

Ce soir là, Diophante et chacun de ses amis commencent à jouer avec la même somme S qui est un multiple entier de la mise M. Diophante est l'heureux gagnant final. Mais il a des regrets. Si chacun était venu au casino avec une somme double 2S, la somme qu'il aurait empochée aurait été quatre fois plus grande.

Combien d'amis accompagnaient Diophante ?

On suppose que Diophante et ses amis ont choisi la somme S qui était le plus petit entier évitant la distribution de centimes d'euro par les perdants successifs. Trouver S et M.



Daniel Collignon et Pierre Henri Palmade ont répondu au problème :

 

Daniel Collignon :

 

A chaque partie une personne perd et quitte le jeu.

 

Au départ tout le monde disposant de S, le capital total est donc de NS.

 

A l'issue des N-1 parties, la banque encaisse (N + N-1 + ... + 2)M = [N(N+1)/2 - 1]M.

 

Diophante empoche donc le reste, soit NS - [N(N+1)/2 - 1]M.

 

Avec 2S à la place de S, cette somme serait 4 fois plus grande, c'est-à-dire que :

 

2NS - [N(N+1)/2 - 1]M = 4{ NS - [N(N+1)/2 - 1]M}.

 

Sachant que S = kM, cette équation est équivalente à 3N^2 - N(4k-3) - 6 = 0

 

Son discriminant vaut D = (4k-3)^2 + 72 = d^2, d'où N = (4k-3+d)/6.

 

Il s'agit donc de résoudre d^2 - (4k-3)^2 = (d-4k+3)(d+4k-3) = 72.

 

Sachant que les deux facteurs ont la même parité et que celui de gauche est inférieur à celui de droite, cela laisse trois possibilités 2*36, 4*18 ou 6*12.

 

Seule la première fournit une solution entière pour k, à savoir k=5 et donc N=6, Diophante empoche donc 10M et la banque 20M.

 

Donc 5 amis accompagnaient Diophante.

 

Au début, les 6 personnes avaient donc 5M, soit 4M après la mise à la banque.

 

Les 5 gagnants empochent 4M/5, et donc disposent de 24M/5 en début de deuxième partie, soit 19M/5 après la mise à la banque.

 

Les 4 gagnants empochent 19M/20, et donc disposent de 19M/4 en début de troisième partie, soit 15M/4 après la mise à la banque.

 

Les 3 gagnants empochent 5M/4, et donc disposent de 5M en début de quatrième partie, soit 4M après la mise à la banque.

 

Les 2 gagnants empochent 2M, et donc disposent de 6M en début de cinquième partie, soit 5M après la mise à la banque.

 

Le gagnant (Diophante) empoche 5M, et donc dispose de 10M en fin de jeu.

 

Pour que les sommes dont il est question soient entières, M doit être un multiple de 20.

 

D'où la plus petite solution avec M=20 et S=100.

 

Pierre Henri Palmade :

 

Au départ, il y a N joueurs, chacun ayant en poche pM euros, soit pMN au total. Les mises du premier tour sont MN, du deuxième M(N-1),... jusqu'au (N-1)ième où les mises sont 2M. Le total des mises est donc

 

M(2+...+N)=M(N(N+1)-2)/2. Le gagnant remporte donc le total des sommes de départ moins les mises, soit pMN-M(N^2+N-2)/2 soit M(Np-(N-1)(N+2)/2). Or ce gain doit quadrupler si p est doublé donc

 

2Np-(N-1)(N+2)/2=4(Np-(N-1)(N+2)/2) soit 4Np=3(N-1)(N+2). N est premier avec N-1, et ne peut avoir en commun avec N+2 que le facteur 2.

 

Par ailleurs N est strictement supérieur à 2, puisque Diophante se rend au casino avec plusieurs amis. Donc N ne peut être divisible que par 2 ou 3; 1 et 2 sont exclus, 3 ne convient pas puisque 3(N-1)(N+2) n'est pas divisible par 4. Donc on ne peut avoir que N=6, donc p=5. Pour la répartition du solde du premier perdant (p-1)M=4M doit être divisible par N-1=5, donc M divisible par 5. Le solde du deuxième perdant est alorsM((p-1)N/(N-1)-1)=19M/5 et doit être divisible par N-2=4 ce qui suppose que M est divisible par 4.

 

De même, le solde du troisième perdant est 75M/20 et doit être divisible par 3, ce qui est bien le cas si M est divisible par 4 et 5 (donc par 20)

 

Enfin le solde du quatrième perdant est 4M, qui est bien divisible par 2.

 

La solution minimale est donc N=6, p=5, M=20 et S=100


 
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