Problème proposé par Raymond Bloch
On appelle « multi-carré d’ordre k » un entier qui est obtenu par concaténation d’au moins k ≥ 3 entiers qui sont des carrés parfaits non nuls. Par exemple 4641 est un multi-carré d’ordre 3 obtenu par concaténation des trois carrés parfaits 4,64 et 1.Un entier « multi-carré » est appelé parfait s’il est lui-même un carré parfait.
Q₁ Prouver qu’on sait trouver au moins 30 multi-carrés parfaits d’ordre k ≥ 3 qui sont inférieurs à 1 000 000 et repérer parmi eux les six paires dont les termes sont les carrés d’entiers consécutifs.
Q₂ Trouver cinq multi-carrés parfaits respectivement d’ordre 5, 6, 7, 8 et 9.
Q₃ Prouver qu’il existe une infinité de multi-carrés parfaits non divisibles par 10.