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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A3. Nombres remarquables A373. Les nombres en or
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A3. Nombres remarquables A373. Les nombres en or
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| A373. Les nombres en or |
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| A3. Nombres remarquables |
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On note φ le nombre d'or qui est la plus grande racine réelle de l'équation x² − x − 1 = 0.
Un entier naturel n est dit nombre en or s'il existe: - deux entiers naturels p et q, - p + q + 1 entiers ap, ap-1, ...a1 ,a0 ,a-1, a-2, ....a-q + 1, a-q ne prenant que les valeurs 0 et 1 tels que: n = ap.φp + ap-1.φp-1 + ....+ a₁.φ + a₀ + a-1. φ-1 + ...+a-q.φ-q =  .Par exemple l'entier 1 est un nombre en or car on peut écrire 1 = φ-1 + φ-2 avec ai = 0 pour ≥ 0, a-1 = a-2 = 1. Q1 Montrer que les entiers 2 et 3 sont des nombres en or et en donner une représentation en or. Q2 Trouver une représentation en or des entiers 2018 et 2019. Q3 Démontrer que tous les entiers naturels admettent une repésentation en or.  Jean Moreau de Saint Martin,Jean-Louis Legrand,Claude Felloneau,Gaston Parrour,David Draï,Michel Lafond,Jean Nicot,Pierre Henri Palmade,Thérèse Eveilleau,Jacques Guitonneau,Francesco Franzosi,Paul Voyer,Bernard Vignes,Daniel Collignon,Antoine Verroken,Pierre Jullien et Patrick Gordon ont résolu tout ou partie du problème |
