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Plus de 2500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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A364. Les nombres miroirs Imprimer Envoyer
A3. Nombres remarquables

calculator_edit.png computer.png  

Pour tout entier positif n, soit f(n) - appelé miroir de n -  la représentation décimale du nombre obtenu en écrivant n en binaire puis en remplaçant tout chiffre 0 par 1 et vice-versa. Par exemple pour n = 17 dont la représentation binaire est 10001,le "miroir"s'écrit 01110, soit f(n) = 14.
Q1 On s'intéresse aux entiers n tels que n est un multiple entier k de son miroir f(n).
 - démontrer que l'entier k n'est jamais impair,
 - démontrer que pour tout entier k pair
   1) il existe au moins un entier n tel que n = k.f(n)
   2) il existe une infinité d'entiers n tels que n = k.f(n)
   Application numérique k = 24 et k = 2016
Q2 Soient S(n)  la somme des entiers de 1 à n et s(n) = A364la somme des f(i) pour i variant de 1 à n,
  - déterminer les entiers n tels que s(n) est un carré parfait.
  - déterminer les entiers n tels que S(n) = 3s(n).


Cet énoncé a pour source un problème posé lors de l'IMC (International Mathematics Competition for University Students) qui s'est tenue en 2015 à Blagoevgrad (Bulgarie). La question Q2 est une extension de l'une des questions posées à l'IMC qui était : trouver les entiers n tels que s(n) = n²/4.
Nos lecteurs ont justement fait remarquer que si l'on sait trouver les deux formules des entiers n pairs et impairs tels que s(n) = n²/4, il existe d'autres entiers n = 1, 3, 17, 115, 195 ,492, 1523, 2586, 3434,... tels que s(n) est un carré parfait ≠ n²/4 sans que l'on sache leur donner une expression générale.
pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfGaston Parrour,pdfJean-Marie Breton,pdfJacques Guitonneau,pdfJean-Louis Margot,pdfClaudio Baiocchi,pdfPierre Henri Palmade,pdfPatrick Gordon,pdfDaniel Collignon,pdfPaul Voyer et pdfAntoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème (hormis la 1ère partie de Q2).

 
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