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Plus de 3500 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A2. Algèbre élémentaire A2700. Des entiers dans une farandole de fractions

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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A2700. Des entiers dans une farandole de fractions Imprimer Envoyer
A2. Algèbre élémentaire

calculator_edit.png  

Démontrer qu’il existe deux entiers p et q positifs et trois nombres (réels ou complexes) x,y et z vérifiant les trois relations :
 x/y + y/z + z/x = p,  
 y/x + z/y + x/z = q,  
 x3/y3 + y3/z3 + z3/x3 = 2024.
En déduire la valeur de l’expression y3/x3 + z3/y3 + x3/z3 puis prouver que les valeurs de xk/yk+ yk/zk + zk/xk  et  de yk/xk+ zk/yk + xk/yk  pour k ≥ 2 sont toujours entières.

Solution

 
 
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