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| A1903. La transformation d'Anning |
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On considère la fraction F =101010101 / 110010011
dans laquelle le numérateur et le dénominateur sont deux nombres entiers exprimés en base 2. On calcule ces deux termes dans une base quelconque b>2. Soit r(b) la valeur de F ainsi obtenue dans cette base.
Démontrer que pour une base donnée b, si on remplace le 1 central du numérateur et du dénominateur par le même nombre impair de 1, la valeur de r(b) ne change pas. Exemple : ainsi si la base b est égale à 10, on a r(10) = 101010101 / 110010011 = 341 / 403 = 11 / 13,puis avec 3 chiffres 1 au centre: 10101110101 / 11001110011 = 1397 / 1651 = 11 / 13 et avec 5 chiffres 1 au centre: 1010111110101 / 1100111110011 = 5621 / 6643 = 11 / 13.
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