Le tableau ci-après donne les décompositions possibles des premiers nombres impairs en une somme d'une puissance de 2 et d'un nombre premier. On s'aperçoit que la deuxième conjecture se vérifie sans problème pour tous les nombres impairs inférieurs à 100 mais l'on bute assez vite sur le nombre 127 dont toutes les décompositions possibles 127=2+125, 127=4+123, 127=8+119, 127=16+111, 127=32+95, 127=64+63 donnent exclusivement des nombres composés : 125, 123, 119, 111, 95 et 63. Il est pour le moins surprenant que le Prince de Polignac soit passé à côté de ce contre-exemple !

On constate que 127 est un nombre premier et si l'on poursuit l'inventaire des nombres impairs qui sont des contre-exemples de la deuxième conjecture de Polignac, on a curieusement toute une série de nombres exclusivement premiers : 149, 251, 331, 337, 373, 509, 599, 701, 757, 809, 877?Le tableau ci-après donne pour tous ces nombres leurs différences avec toutes les puissances de 2 qui leur sont inférieures. Tous les nombres résultants sont bien composés.

Peut-on dire alors que tout nombre impair dont les différences avec les puissances de 2 qui lui sont inférieures sont toutes des nombres composés, est nécessairement un nombre premier ?

La réponse est non car le nombre suivant est 905 qui n'est pas premier?.On vérifie que les différences entre 905 et les puissances de 2 <905 sont bien des nombres composés : 903 = 3*301, 901 = 15*53, 897 = 3*299, 889 = 7*127, 873 = 3*291, 841 = 29*29, 777 = 3*259, 649 = 11*59 et 393 = 3*131.