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Problème proposé par Pierre Renfer
Soit E1 l’ensemble des entiers naturels n qui peuvent s’écrire n = x2+ xy + y2, avec x, y entiers naturels.
Soit E2 l’ensemble des entiers naturels n qui peuvent s’écrire n = x2− xy + y2, avec x, y entiers naturels.
Soit E3 l’ensemble des entiers naturels n qui peuvent s’écrire n = x2+3y2, avec x, y entiers naturels.
Q1 Montrer que ces trois ensembles sont égaux.On note E cet ensemble.
Q2 Montrer que tous les nombres premiers,congru à 1,modulo 3,appartiennent à E.
Q3 Montrer qu’un entier naturel n appartient à E si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs
premiers, tous les facteurs premiers congrus à 2, modulo 3, interviennent avec un exposant pair.
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