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| A1758. Mise en bouche cru 2022 |
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A- Le classique parmi les classiques
A1 Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui fait intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donne un résultat égal à 2022 à partir : des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre [*] Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9. Pour les plus courageux : trouver le plus petit entier >2022 qui ne peut pas s’exprimer de cette manière.[****] A2 Pierre Leteurtre propose de modifier les règles en autorisant la concaténation des chiffres (par exemple 12 x 3 + 45 = 81) et en adoptant la notation polonaise inverse qui évite les parenthèses. Trouver les formules qui permettent d’obtenir 2022 [**] B- Le kième parmi d’autres B1 Je suis le quatrième entier de la suite strictement croissante S₁ des entiers positifs à quatre chiffres dont trois chiffres sont identiques, chacun d’eux étant multiple d’un nombre premier permutable à trois chiffres. Par exemple 7775 = 25 x 311 appartient à S1. Qui suis-je ? Donner tous les termes de S1 ?[**] Nota : un entier premier permutable reste premier quand on effectue une permutation quelconque de ses chiffres. B2 Je suis le dixième terme de la suite strictement croissante S2 des entiers positifs tels que moi-même et les trois entiers consécutifs venant après moi sont respectivement divisibles par la somme de leurs chiffres. Par exemple l’entier 510 appartient à S₂ avec 510, 511, 512 et 513 respectivement divisibles par 6, 7, 8 et 9. Qui suis-je ? Donner les huit premiers termes de S2.[*] B3 J’appartiens à la suite strictement croissante S3 des entiers supérieurs d’une unité au produit de deux nombres premiers consécutifs. Par exemple l’entier 324 fait partie de S3 avec 324 = 17.19 + 1. Cinquante et un entiers à quatre ou cinq chiffres de cette suite sont supérieurs à moi. Qui suis-je ? Donner mon rang dans S3[*]  Pierre Leteurtre,Thérèse Eveilleau,Pierre Henri Palmade,Daniel Collignon,Bernard Vignes,Raymond Bloch et Maxime Cuenot ont résolu tout ou partie du problème. |
