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| A1851. Trois séquences à l'unisson |
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Pour une fraction rationnelle r < 1,on recherche la plus courte séquence de k entiers positifs distincts ai,i = 1,2,...k, tels que le produit des k nombres 1 – 1/ai est égal à r.
On désigne par n(r) le nombre de termes de cette séquence.Par exemple pour r = 4/9 , on a n(r)=2 avec a1= 2 et a2 = 9 qui vérifient l’équation (1 – 1/2).(1 – 1/9) =4/9. Démontrer que n(41/2013) = n(41/2014) = n(41/2015). Justifier la réponse en donnant la valeur commune ainsi que les termes de chacune des trois séquences. Pour les plus courageux disposant d’un automate . Trouver au moins un entier m ? multiple de 41 et > 1 tel que n(m/2013) = n(m/2014) = n(m/2015).  Jean Moreau de Saint-Martin,Francesco Franzosi,Gaston Parrour,Pierre Henri Palmade,Michel Lafond,Patrick Gordon,Marie-Christine Piquet et Bernard Vignes ont résolu le problème et obtenu la même valeur n(41/2013) = n(41/2014) = n(41/2015) = 49. |
