Problème proposé par Bernard Vignes

M₁ Les couples d’entiers (a,b) obéissent aux conditions suivantes :
-    1 < a < b,
-    les diviseurs premiers de a et de b sont identiques,
-    les diviseurs premiers de a + 1 et de b + 1 sont identiques.
 Démontrer qu’il existe une infinité de tels couples.
Application numérique : trouver au moins huit de ces couples dont le plus petit terme est ? 2014.

M₂ Trouver tous les entiers strictement positifs n tels que pour  tout nombre premier p > 2, il existe un entier strictement positif k de sorte que les deux quantités n^k – k et n^k+1 – (k + 1) sont divisibles par p.

Trouver tous les entiers strictement positifs n tels que pour  tout nombre premier p > 2, il existe un entier strictement positif k de sorte que les deux quantités n^k – k² et n^k+1 – (k + 1)² sont divisibles par p.

Source : Olympiades de mathématiques du Benelux