Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.
Problème proposé par Pierre LeteurtreIl s'agit ici de construire des séquences « CRmin » de nombres entiers à partir des règles suivantes :1. la valeur initiale doit être impaire non multiple de 3 et supérieure ou égale à 52. multiplier cette valeur par 2 jusqu'à obtenir un nombre congru à 1 modulo 3 ( compter le nombres de multiplications par 2 ) 3. retrancher 1 et diviser par 3. Si la valeur obtenue est multiple de 3, revenir à l'étape 2 et multiplier par 4 ( et ajouter 2 au nombre de multiplications )4. itérer sur l'étape 2Soient M le nombre cumulé de multiplications par 2 et D le nombre cumulé de divisions par 3. Un exemple pour illustrer les règles et l'évolution de M et D : Question 1 : vers quelle limite tend le rapport M / D, quelle que soit la valeur initiale ?Question 2 : à chaque étape 2, on peut augmenter le nombre de multiplications d'un nombre pair ( sous réserve de sauter les cas où le résultat est multiple de 3 ). On pourrait penser que la séquence ainsi modifiée a ensuite partout des valeurs supérieures à celles de la séquence « CRmin » de même valeur initiale. Montrer que cette idée est fausse et qu'il existe des séquences de longueur quelconque qui offrent un rapport M / D inférieur à celui de la question 1.
