Q₁ : Soit un nombre premier p. Montrer qu’il existe au moins un entier positif n tel que la représentation décimale de pⁿ contienne exactement 2013 zéros à la queue leu leu.
Q₂ : Existe-t-il un entier naturel positif dont la somme des chiffres est égale à 2013 et dont la somme des chiffres de son carré est égale à 2013² ?
Q₃ : Existe-t-il un entier de 2013 chiffres qui donne toujours un entier composé quand on remplace trois quelconques de ses chiffres adjacents par trois chiffres arbitrairement choisis ?
Q₄ : Soient   une première suite de m > 2013 entiers consécutifs et  une deuxième suite de n = m – 9 entiers consécutifs qui a neuf termes de moins que la précédente. On forme les entiers M et N obtenus par concaténation dans un ordre quelconque des entiers appartenant à chacune de ces suites. Est-il possible que M = N ? Si oui, donner un exemple des deux suites. Si non, justifier votre réponse.
Q₅ : On désigne par P(x) et S(x) le produit et la somme des chiffres d’un entier x. Existe-t-il au moins un entier naturel n tel que P(P(n)) + P(S(n)) + S(P(n)) + S(S(n)) = 2013 ?
Pour les plus courageux disposant  d’un automate :  donner le plus petit n possible.

Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade et Gaston Parrour ont résolu tout ou parie du problème.