En l'honneur de cette année bissextile,nous commençons par une première énigme qui porte sur l'une des particularités de son calendrier. En février 2012, il y aura cinq mercredis. Quelle est la première année du 22-ième siècle au cours de laquelle on observera le même phénomène ?

Poursuivons avec une inégalité diophantienne:quel est l'entier n tel qu'il existe exactement 2012 couples d'entiers naturels positifs ou nuls (x,y) satisfaisant l'inégalité x2 + y2  n ?

Passons ensuite à la suite bien connue de Conway 1,11,21,1211,111221,312211,... dans laquelle un terme se détermine en annonçant les chiffres formant le terme précédent.Il y a un terme qui contient 2012 chiffres. Quel est son rang ?

Terminons par un casse-tête d'Erich Friedman qui suggère un parcours diophantien pour passer de 2011 à 2012. Ce parcours est constitué de deux cercles reliés par un segment de droite.









A partir de l'entier 2011, il s'agit d'obtenir le résultat 2012 en passant autant de fois que nécessaire par les quatre points rouges auxquels sont associées les quatre opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication et division),chacune d'elles étant effectuée avec un entier naturel a,b,c,d.
Au cours du parcours qui mène de 2011 à 2012,il est obligatoire d'effectuer au moins une fois chacune des quatre opérations et il est interdit de rebrousser chemin sur l'un quelconque des deux cercles..
Q1: Trouver quatre entiers distincts a,b,c,d >1 qui permettent d'obtenir 2012 avec le parcours le plus court possible.
Q2: Trouver un parcours qui permet d'obtenir 2012 avec a,b,c,d distincts entre eux et choisis parmi l'ensemble des nombres premiers {2,3,5,7}.