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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes ouverts A1. Pot pourri A1978. Unique en son genre
Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.
A1978. Unique en son genre Imprimer Envoyer
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Trouver un entier naturel n inférieur à 2011 divisible par trois entiers distincts dont la conversion dans trois bases entières a,b et c distinctes donne respectivement des nombres uniformes à 3, 4 et 6 chiffres avec deux au moins de ces nombres qui n’utilisent pas le même chiffre. Démontrer que cet entier n est unique.
Nota : un nombre uniforme ou rep-digit est formé par la répétition du même chiffre compris entre 1 et 9.


Solution

Ce problème devrait s'intituler "Le mal nommé". En effet comme son rédacteur a oublié de préciser que les trois diviseurs distincts de n étaient strictement inférieurs à n, il y a deux solutions:
1) n=1092 avec par exemple trois diviseurs 273,156 et 364 qui s'écrivent respectivement 333,1111 et 111111 en bases 9,5 et 3
2) n = 1365 avec les trois diviseurs 273,455 et 1365 lui-même qui s'écrivent respectivement 333,555 et 111111 en bases 9,9 et 4.
Antoine Vanney,Bernard Grosjean,Gaston Parrour,Patrick Gordon,Pierre Henri Palmade,Philippe Laugerat,Paul Voyer et François Bulot ont résolu le problème.
 
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