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A3930. Les auto-permutants

Un entier naturel n de k > 1 chiffres tous non nuls et dont au moins deux d’entre eux sont distincts est appelé auto-permutant s’il est égal à la moyenne arithmétique des k! entiers formés en permutant ses chiffres.
Prouver que le nombre de chiffres k d’un entier auto-permutant est toujours un multiple de 3 et que pour chaque k fixé à l’avance, il y a exactement quatre entiers auto-permutants.

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