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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes par thèmes

E. Logique - Autoréférences

E6. Autres casse-tête

E6957. Le bal des jumeaux à bonne distance

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E6957. Le bal des jumeaux à bonne distance

E6. Autres casse-tête

Problème proposé par Thérèse Eveilleau
Diophante propose à Alice, Bernard, Caroline et Damien l'énigme suivante : une valeur entière n étant donnée, il s’agit de construire une suite de 2n entiers dans laquelle les entiers de 1 à n apparaissent chacun exactement deux fois, avec la contrainte que les deux occurrences de l'entier k sont séparées par exactement k positions.
Les quatre amis se voient attribuer respectivement les valeurs n = 7, 8, 9,10.
Q₁ Aidez les quatre amis à résoudre l’énigme.
Q₂ Pour les plus courageux disposant d’un automate : déterminez pour chacun d’eux le nombre de solutions possibles.

Solution

L'énoncé a donné lieu à deux interprétations différentes sur les positions respectives de deux entiers identiques:

- soit deux occurrences de l'entier k occupent les cases n° x et n° x + k et sont séparées par k – 1 cases. L'incrément pour passer de la première case à la seconde est égal à k. C'est la notion retenue par l'auteur du problème.
Dans ce cas il y a des solutions pour n= 8 et n = 9 et aucune solution pour n = 7 et n = 10
Ce sont les solutions de Daniel Collignon,Francesco Franzosi,Maurice Bauval,Pierrick Verdier,Pierre Leteurtre et Thérèse Eveilleau

- soit deux occsurences de l'entier k sont séparées par k cases et occupent les cases n°x et n° x + k + 1.
Dans ce cas il y a des solutions pour n= 7 et n = 8 et aucune solution pour n = 9 et n = 10.
Ce sont les solutions de Michel Goudard et Pierre Henri Palmade

A noter que dans un cas comme dans l'autre les suites font partie de la même famille de suites de Langford-Skolem.

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