Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement
Open/Close
E517. Sur un très grand tableau noir Imprimer Envoyer
E5. Enigmes logiques
calculator_edit.png  
Q1 - 2010 nombres entiers strictement positifs, pas nécessairement distincts, sont écrits en vrac sur un très grand tableau noir. J’écris une première séquence d’entiers a0,a1,a2,...,ai,...  telle que pour i = 0,1,2,.... ai  est le nombre de ces entiers strictement supérieurs à i. Je continue tant que les ai  sont strictement positifs et je n’écris pas de zéros. Je poursuis avec une deuxième séquence d’entiers b0,b1,b2,...,bj,....   obtenue à partir de la première sequence selon le même procédé. Et ainsi de suite…. Quels sont les termes de la 2010ième  séquence ?
Q2 - J’efface tout et j’écris une première séquence de 2010 nombres entiers positifs ou nuls, pas nécessairement distincts : a0,a1,a2,...,ai,...,a2010 . En dessous de chacun des termes  , j’écris une deuxième séquence de 2010 entiers : b0,b1,b2,...,bi,....,b2010     dans laquelle bi  est le nombre d’occurrences de l’entier ai  . Je poursuis le processus en écrivant une troisième séquence de 2010 entiers strictement positifs   c0,c1,c2...,ci,....,c2010 dans laquelle ci  représente le nombre d’occurrences de bi . Et ainsi de suite…
Montrer qu’à partir d’un certain numéro k, les séquences sont toutes identiques entre elles. Quelle est la plus grande valeur possible de k ? Donner l’exemple d’une séquence a0,a1,a2,...,ai,...,a2010   qui maximise k.
Sources :d’après Tournoi des Villes et  olympiades russes de mathématiques.


Jean Drabbe,Claude Felloneau et Jean Moreau de Saint Martin ont résolu les deux questions du problème.

 

 

 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional