La semaine dernière, du lundi au jeudi, Zig a assisté à quatre séances de cinéma et à chacune d’elles il a eu la curiosité de recenser les nombres de personnes devant lui et derrière lui dans la queue qui attendait l’ouverture de la salle. Il a constaté que les proportions⁽¹⁾ des personnes devant lui au cours de ces quatre jours étaient constantes et que celles⁽¹⁾ des personnes derrière lui se ramenaient à des fractions égyptiennes consécutives de la forme 1/k, 1/(k+1),1/(k+2),1/(k+3). La première séance était celle d’un film à succès mais la queue ne dépassait pas 200 mètres de long.
Déterminer les nombres de personnes qui ont assisté à chacune des quatre séances et le rang qu’occupait Zig dans chacune des queues.
Pour les plus courageux : prouver que quel que soit le nombre n de journées consécutives, il existe n queues (sans contrainte sur leurs longueurs) telles que les proportions des personnes devant Zig au cours de ces n journées sont constantes et celles des personnes derrière lui se ramènent à n fractions égyptiennes consécutives de la forme 1/(k+i) pour i = 0 to n-1.

⁽¹⁾ calculées par rapport au nombre total de personnes dans chaque queue.