Hippolyte et Théophile choisissent chacun de son côté un nombre entier positif, respectivement X=2005 et Y=2004, sans le révéler à l'autre. Ils communiquent ces deux entiers à Diophante qui inscrit au tableau deux nombres dont l'un est la somme 4009 de X et de Y et l'autre est 4054, sans préciser, bien entendu, lequel des deux est la somme. Il interroge ensuite tour à tour Hippolyte puis Théophile puis à nouveau Hippolyte etc...et leur demande à chaque fois le nombre choisi par son voisin. Il s'ensuit un interrogatoire dont les questions-réponses rappellent d'interminables échanges de ping-pong:

Question n°1

Quel est le nombre choisi par Théophile ? - Hippolyte : Je ne sais pas répondre

Question n°2

Quel est le nombre choisi par Hippolyte ? - Théophile : Je ne sais pas répondre

Question n°3

Quel est le nombre choisi par Théophile ? - Hippolyte : Je ne sais toujours pas répondre

Question n°4

Quel est le nombre choisi par Hippolyte ? - Théophile : Je ne sais toujours pas répondre

Question n°5 Quel est le nombre choisi par Théophile ? - Hippolyte : Je ne sais toujours pas répondre

Question n°6

Quel est le nombre choisi par Hippolyte ? - Théophile : Je ne sais toujours pas répondre

......

Montrer que l'interrogatoire de Diophante a une fin. Qui des deux amis donne en premier le nombre choisi par son voisin ?

Généralisation :Si le deuxième nombre choisi par Diophante est N (au lieu de 4054), dans quels cas Hippolyte est-il le premier à donner le nombre de son voisin. Dans quels cas, est-ce Théophile ?

Source : d'après un problème présélectionné aux olympiades internationales de mathématiques.