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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes par thèmes I. Trajets optimaux I165. Un billard à trois bandes

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I165. Un billard Ă  trois bandes Imprimer Envoyer
I. Trajets optimaux

calculator_edit.png  

Une table de billard a la forme d'un triangle équilatéral ABC d'un mètre de côté.
 i165
On place une boule (assimilée à un point) en un point D du côté BC à 10 cm de B.
La frappe de la boule se fait selon un angle inférieur à 90° mesuré dans le sens anti-horaire par rapport à la droite BC.
On s'intéresse aux seules trajectoires de la boule qui rebondit sur les côtés du triangle selon la loi classique de la réflexion avant de revenir pour la première fois à son point de départ D.
Q1 Déterminer les trajectoires distinctes qui ont exactement 21 mètres de longueur. Pour chacune d'elles, donner l'angle de frappe et le nombre de rebonds* de la boule.
Q2 Une nouvelle frappe de la boule donne  90 rebonds*  avec une longueur de la trajectoire qui s'exprime encore en un nombre entier de mètres. DĂ©terminer la ou les trajectoires correspondantes (longueur, angle de frappe)
*Nota: tout  rebond correspond au changement de direction de la boule en un point intermĂ©diaire de sa trajectoire L'arrivĂ©e en D compte pour un rebond mais pas le dĂ©part de D.


pdfClaude Felloneau,pdfPierre Renfer,pdfMaurice Bauval,pdfThérèse Eveilleau,pdfJean-Louis Legrand,pdfJacques Guitonneau,pdfBernard Vignes,pdfPierre Leteurtre,pdfJean Nicot,pdfPaul Voyer,pdfDavid Draï et Fabien Gigante ont traité tout ou partie du problème.

Dans Q1 comme dans Q2, il y a trois trajectoires distinctes avec les angles de frappe suivants:
Q1   θ1 = 21.8°  θ2 = 38.2° et  θ3 = 81.8° qui donnent 48 rebonds pour une trajectoire de 21 mètres.
Q2   θ1  = 27.8° θ2 = 32.2° et  θ3 = 87.8° qui donnent 90 rebonds pour une trajectoire de 39 mètres.
pdfAntoine Verroken nous signale l'article très documenté de pdfAndrew M. Baxter et Ron Umble sur le thème "Periodic orbits of billiards on a equilateral triangle"
Enfin Thérèse Eveilleau sur son site Bienvenue en mathématiques magiques a réalisé une très belle animation remarquablement mise en musique qui permet de simiuler la trajectoire de la boule selon l'angle de frappe à l'intérieur d'un billard triangulaire.

 
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