20^ième épisode[***]
Sur la droite qui porte le côté AC d’un triangle acutangle ABC, on trace le point D tel que A est milieu du segment CD. On trace deux points E et F sur le cercle circonscrit au triangle DBC tels que AE = AF = BC.
Démontrer que la droite [EF] passe par le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement l’angle 
 BAC est égal à 60°.

21^ième épisode [**]
Dans un triangle acutangle ABC, on désigne par D et E les pieds des bissectrices issues de A et de B sur les côtés BC et AC Sachant que AB + BD = AE + EB, démontrer que l'angle  ABC est égal à 80° si et seulement si 
 BAC = 60°.

22^ième épisode [**]
Dans un triangle ABC, l'angle  ACB égal à 75°. On construit le parallélogramme ABDC avec BD parallèle à AC et CD parallèle à AB. Soient M et N les milieux des côtés BD et CD.
Démontrer que l'angle  BAC est égal à 60° si et seulement si les quatre points B,C,M et N sont cocycliques.

Nota: les trois épisodes sont indépendants.