Problème proposé par Pierre Renfer

Soient ABC un triangle, I le centre de son cercle inscrit et H son orthocentre.
Soient D, E, F les points de contact du cercle inscrit avec les côtés [BC], [CA], [AB].
Soient D(t), E(t), F(t) les transformés de D, E, F par l’homothétie, de centre I, de rapport t.
1) Montrer que les droites (AD(t)), (BE(t)), (CF(t)) concourent en un point P(t).
2) Montrer que lorsque t décrit ℝ∪{∞}, le point P(t) décrit l’hyperbole équilatère passant par A, B, C, I, H
3) Montrer que le centre de symétrie de l’hyperbole est le point de Feuerbach du triangle ABC