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Plus de 2000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A725. Huit sacs Imprimer Envoyer
A7. Problèmes de pesées

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Problème proposé par Augustin Genoud

Huit sacs, A, B, C, D, E, F, G et H, contiennent chacun 100 billes. Six sacs ont uniquement des billes de 10 g. Un sac ne contient que des billes de 11 g et un autre sac ne renferme que des billes de 9 g. Afin de déterminer le poids des billes de chaque sac, on extrait a billes du sac A, b billes du sac B, c billes du sac C, d billes du sac D, etc. Ensuite, on procède à une seule pesée en mettant l’ensemble des billes extraites sur une balance électronique.
Sans perte de généralité, on retient  0 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ …. ≤ h.
Déterminer le nombre de billes qu'il convient d'extraire de chaque sac dans les deux cas suivants :
- le nombre total de billes sorties des sacs est le plus petit possible.
- le terme h est le plus petit possible.



pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfPaul Voyer,pdfClaudio Baiocchi ,pdfJean Nicot,pdfPatrick Gordon,pdfMarie-Christine Piquet,pdfPierre Henri Palmade,pdfDaniel Collignon ainsi que l'auteur du problème pdfAugustin Genoud ont donné différentes méthodes (calculs manuels ou programme informatique) pour déterminer les termes minimaux demandés.

En réponse à la première question, le plus petit nombre de billes sorties du sacs est égal à 113 avec h = 39 .Dans la deuxième question,  le terme h prend la plus la plus petite valeur possible 34 < 39 avec au total 117 billes > 113  billes.
Claudio Baiocchi a joint à sa solution un programme écrit en langage Pascal zipDev-Pas.zip qui permet de vérifier que les deux résultats mentionnés ci-dessus (113 et 34) sont bien optimaux. De son côté Paul Voyer a joint un programme écrit en Visual Basic en annexe de sa solution.

Plusieurs lecteurs ont fait remarquer que ce problème rappelle la règle de Golomb. Cette régle appelée ainsi en l'honneur du mathématicien Solomon W. Golomb est munie de marques à des positions entières, telles que deux paires de marques ne sont jamais à la même distance.

 
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