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A. Arithmétique et algèbre

A4. Equations diophantiennes

A464. Un entier somme d'entiers consécutifs de 2003 manières

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A464. Un entier somme d'entiers consécutifs de 2003 manières

A4. Equations diophantiennes

De combien de façons le nombre 2003 peut-il s'écrire comme la somme d'entiers consécutifs ?

En déduire un nombre qui peut s'écrire comme la somme d'entiers consécutifs de k façons distinctes ?

Solution

2003 est égal à la somme des deux entiers consécutifs 1001 et 1002 et il n'y a pas d'autre façon d'exprimer 2003 comme somme d'entiers consécutifs. Cette décomposition unique en somme d'entiers consécutifs résulte de ce que 2003 est un nombre premier.

Soit N un nombre premier. Si N est la somme d'entiers consécutifs dont le 1 er terme est q+1 et le dernier terme est p, on peut écrire : N = p*(p+1)/2 ? q(q*+1)/2 avec p et q entiers, q<p.

D'où l'équation diophantienne : . Celle-ci admet des racines entières en p si avec x entier.

D'où la deuxième équation diophantienne : . Celle-ci admet des racines entières en q si ou (2x+y)*(2x-y)=32N

On constate que N étant premier, 2x+y ne peut prendre que les valeurs 32N,16N,8N,4N,2N et N. D'où deux solutions seulement x=2N+1,y=4N-2 d'une part , x=N+2 et Y=2N-4 d'autre part.

Pour x=2N+1 et y=4N-2, il en découle p=(x-1)/2=N et q=(y-2)/4=N-1. On trouve un seul terme qui est le nombre N lui-même, cette solution est donc à exclure.

Pour x=N+2 et y=2N-4, on obtient p=(x-1)/2 = (N+1)/2 et q=(y-2)/4 = (N-3)/2. La somme d'entiers consécutifs est donc constituée de deux termes q+1=(N-1)/2 et p=(N+1) /2.

Il n'y a pas d'autre décomposition possible.

Dès lors, peut s'exprimer sous la forme d'entiers consécutifs de 2 manières distinctes. En effet l'équation =32* est telle que l'on pourra décomposer le deuxième membre sous la forme 2x+y = 4* et 2x ? y = 8 ou bien 2x+y = 8*2003 et 2x-y =4*2003. Il en résultera une première décomposition =2006004+2006005. et la deuxième sera = (1002 à 3004).