En supposant un entraînement raisonnable, on peut admettre que pendant deux heures, c'est à dire pendant 7200 secondes on est capable d'écrire une suite d'au moins 1000 nombres entiers mais ce serait un exploit d'en écrire plus de 9999.

On admet donc que le dernier nombre inscrit par Théophile est un nombre N à 4 chiffres, celui de Diophante est donc N*x avec x entier et N*x<9999 et celui d'Hippolyte est N*y avec y entier tel que y<x.

Le nombre total de chiffres inscrits par Théophile est égal à  4*N ?1107 qui s'analyse comme suit :

• chiffres des entiers 9 : 9
• chiffres des entiers > 9 et 99 : 2*90 = 180
• chiffres des entiers >99 et 999 : 3*900 = 2700
• chiffres des entiers >999 et N : 4*(N-999)

Le nombre total de chiffres inscrits par Diophante est égal à 4*N*x ? 1107 et celui d'Hippolyte est 4*N*y ? 1107. On exprime le fait que chacun de ces nombres est un multiple du nombre total de chiffres inscrits par Théophile : 4*N*x ? 1107 = X*(4*N ? 1107) et 4*N*y ? 1107 = Y*(4*N ? 1107).

Cela revient à résoudre l'équation diophantienne 4*N*z ? 1107 = Z*(4*N ? 1107) qui donne un entier N pour lequel il y a au moins deux couples d'entiers (Z,z) distincts tels que N*z<10000.

L'équation s'écrit encore : 4*(Z-z)*N = 1107*(Z-1)= *41*(Z-1) qui conduit à la solution unique en N=1107. D'où 4*(Z-z)=Z-1 2 couples distincts : (X=5 et x=4) et (Y=9 et y=7)

Les derniers nombres inscrits par Diophante, Hippolyte et Théophile sont respectivement 7749, 4428 et 1107 qui sont dans les rapports 7,4 et 1. Les nombres totaux de chiffres qu'ils ont écrits sont respectivement 29889, 16605 et 3321 dans les rapports 9,5 et 1.

On peut vérifier que cette solution est unique pour tout dernier nombre inscrit par Diophante 9999. Supposons que le dernier chiffre N écrit par Théophile soit à 3 chiffres. Le nombre total de chiffres qu'il a écrits serait 3*N-108. On aurait à résoudre des systèmes d'équations du type :

4*N*x ? 1107 = X*(3*N ? 108) et 4*N*y ? 1107 = Y*(3*N ?108)

ou bien

4*N*x ? 1107 = X*(3*N ? 108) et 3*N*y ? 108= Y*(3*N ?108)

ou bien

3*N*x ? 108 = X*(3*N ? 108) et 3*N*y ? 108 = Y*(3*N ?108)

Dans les trois cas, il n'existe aucun N pour lequel il existe au moins deux couples d'entiers (X,x) et (Y,y) satisfaisant les équations du système avec selon les cas N*x>999 et N*y>999, N*x>999 et N*y<999, N*x<1000 et N*y<1000.