Problème proposé par Raymond Bloch
Un nombre n est « juste » si la somme s(n²) des chiffres de son carré est égale au carré de la somme de ses chiffres [s(n)]². Ainsi 13 est juste : [s(n)]² = (1+3)² = 16 et s(n²) = 1+6+9 = 16. Au contraire, 14 est « injuste » : [s(n)]² = (1+4)²= 25 et s(n^²) = 1+9+6 = 16.
Q₁ Prouver que la suite strictement croissante des entiers naturels justes contient une infinité dénombrable de termes et prouver que chaque terme ne contient jamais de chiffre ≥ 4.
Q₂ Existe-t-il des justes dont la somme des chiffres est 10 ? Si oui, quel est le plus petit ? Si non, prouver qu’il n’y en a pas.