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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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A2708. Une limite commune Imprimer Envoyer
A2. Algèbre élémentaire

calculator_edit.png  nouveau 

Problème proposé par Bernard Vignes

Diophante écrit au tableau deux entiers distincts a0 et b0 tels que 1 < a0  < b0  puis demande à Zig et Puce de calculer, chacun sur une même ligne, le premier les nombres  a1,a2,…,ak et le second les nombres b1,b2,….bk tels qu’à la  i ème itération ai et bi  sont respectivement la moyenne arithmétique et la moyenne harmonique de ai-1 et de bi-1.
Q1 Prouver que les deux suites {ai} et {bi} convergent vers une même limite L. A quelles conditions sur a0 et b0, L est-elle un nombre entier ?
Q2 Diophante a choisi a0 et b0 de sorte que L=1001. Sachant que les entiers les plus proches des termes successifs ai et bi calculés par Zig et Puce prennent la même valeur L pour la première fois  à la dixième itération, déterminer b0.

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