On considère l’équation diophantienne (E) : na + (n+1)b + (n+2)c + (n+3)d = (n + 4)e dans laquelle n est un entier strictement positif et les exposants a,b,c,d,e sont des entiers positifs ou nuls. Q1 Démontrer que quel que soit n, on sait trouver un 5-uple (a,b,c,d,e) qui vérifie (E).[*] Q2 Pour n prenant respectivement les valeurs 2,3,4 et 5, déterminer tous les 5-uples (a,b,c,d,e) qui vérifient (E).[****].
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Problème proposé par Pierre Leteurtre
On part des 3 cercles de D1729: Porisme à 3 ronds fixes.
C1 de centre o1, C2 de centre o2 et γ de centre I, tels que tout cercle Γ tangent à C1 et C2 (Γ est intérieur à C1 et C2 est intérieur à Γ) forme avec γ un couple admettant des triangles inscrits-circonscrits. T est le centre d'homothétie positive C1/ C2/ Γ. T' est le centre d'homothétie négative C1/ C2. La tangente en R à γ forme le côté fixe des triangles ABC et A'B'C'. Une droite variable passant par T, coupe C1 en u et v' et C2 en u' et v. Elle détermine les cercles Γ et Γ' :Γ tangent à C1 en u et à C2 en v,Γ' tangent à C1 en u' et à C2 en v'. (pour mémoire, leurs centres ω et oω' sont sur l'ellipse E de foyers o1 et o2) Γ est circonscrit à ABC avec A et B sur Δ et γ comme cercle inscrit. Γ' est circonscrit à A'B'C' avec A' et B' sur Δ et γ comme cercle inscrit.
Montrer que C et C' décrivent un cercle tangent à C1 et C2.
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On considère les deux suites en miroir un et vn définies par : u1 =0, u2 = 1, un+2 = un+1 + un/n et v1 =0, v2 = 1, vn+2 = vn+1/n + vn Déterminer la limite de 2un/vn2 quand n tend vers l’infini. Source : Benoit Cloitre
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