Les entiers 0 et 1 sont écrits au tableau noir. Un tour consiste à écrire la moyenne arithmétique d'un nombre quelconque de nombres distincts déjà inscrits au tableau.
Q₁ Prouver qu’on peut obtenir successivement la fraction 1/7 en 8 tours au plus, la fraction 5/11 en 12 tours au plus, la fraction 17/19 en 27 tours au plus .
Q₂ Prouver que l'on peut obtenir tout nombre rationnel compris entre 0 et 1 en un nombre fini de tours.

   
Il est bien connu qu’un ennéagone régulier n'est pas constructible avec seulement une règle (non marquée) et un compas, car le nombre 9 ne satisfait pas la condition du théorème de Gauss-Wantzel.
Il existe plusieurs constructions à la règle et au compas qui en donnent de bonnes approximations. Nous commençons la saga avec la fleur de la vie d’Albert Dürer.

On trace :
1) un premier cercle (γ) ‒ en trait noir sur la figure supra ‒ de centre O et de rayon unité sur lequel on place les six sommets A₁ à A₆ d’un hexagone régulier,
2) une couronne de six cercles ‒ en trait bleu ‒ de rayon unité centrés aux points A_i (i = 1 à 6),
3) une couronne de six cercles ‒ en trait rouge ‒ de rayon unité centrés aux points B_i (i = 1 à 6).tangents deux à deux et tangents au cercle (γ),
4) une couronne de six cercles ‒ en trait vert ‒ de rayon unité centrés aux points C_i (i = 1 à 6) et passant par les points A_i et A_i+1 modulo 6,
5) un grand cercle (Γ) ‒ en trait noir‒ de centre O et de rayon 3 , tangent extérieurement aux six cercles (en trait rose) de centres B_i
6) les demi-droites OA₁,OA₃ et OA₅ qui coupent (Γ) aux points P₁,P₄ et P₇
7) les droites A₂ A₆ ,A₆A₄ et A₄ A₂ qui coupent respectivement (Γ) aux points P₃,P₈ puis P₅ P₉ et P₂ et P₆.
On obtient ainsi les neuf sommets d’un ennéagone (E) P_j j = 1 à 9 inscrit dans un cercle de rayon 3
Q₁ Prouver que (E) n’est pas régulier.
Q₂ Déterminer les côtés de (E ) qui donnent la meilleure approximation des côtés d’un ennéagone régulier inscrit dans un cercle de rayon 3.

Au cours du premier épisode, nous avons obtenu avec la fleur de la vie d’Albert Dürer deux mesures approchées c₁ et c₂ du côté c d’un ennéagone régulier inscrit dans un cercle unité
On a c = 2sin(20°) = 0,6840402866551337….

Ce deuxième épisode donne l’occasion de découvrir trois nouvelles méthodes :
1^ère méthode de Pierre Tougne
Dans un repère orthonormé d’origine O, on trace :
1) un premier cercle de centre O et de rayon unité qui coupe l’axe des abscisses en A et l’axe des ordonnées en B.

2) un deuxième cercle de centre A et de rayon AB qui coupe l’axe des abscisses en un point C à droite de B.
3) la parallèle à l’axe des abscisses passant par B coupe le cercle de centre O et de rayon = 2, en un point P d’abscisse > 0 qui se projette en D sur l’axe des abscisses.
Prouver que c₃ = CD donne une meilleure approximation de c que c₁ et c₂.
2^ème méthode de Pedro Freitas
1) On trace un cercle (Γ₁) de centre A et de rayon unité.
2) On trace un deuxième cercle (Γ₂) de rayon unité dont le centre B est sur (Γ) et qui coupe (Γ₁) en deux points C et D.
3) La droite [BC] coupe (Γ₂) en un deuxième point d’intersection E du même côté que D par rapport à la droite [AB],
4) Le cercle (Γ₃) de centre C et de rayon r = CD coupe (Γ₁) en un deuxième point F,
5) Le cercle (Γ₄) de centre F et de rayon FB coupe (Γ₃) en un point G du même côté que D et E par rapport à la droite [AB].
Prouver que c₄ = EG est une meilleure approximation de c que c₁, c₂ et c.
3^ème méthode d’Almada Negreiros
1) On trace un carré ABCD de côté AB = 1 sur l’axe des abscisses puis les points E et F milieux respectifs de AB et de CD et enfin le point J milieu de FC.
2) On trace sur l’axe des ordonnées le point G d’ordonnée – 1/2 puis le cercle de centre G et de rayon GD qui coupe le côté BC au point H,
3) Le cercle de centre B et de rayon BH coupe le segment EF au point I
Prouver que c = IJ est une meilleure approximation de c que les quatre précédentes.

Question annexe pour les plus courageux : montrer que la longueur du segment IB donne la mesure exacte du côté d’un polygone régulier de a côtés inscrit dans un cercle de rayon unité et celle du segment IK donne une bonne approximation du côté d’un polygone régulier de b côtés inscrit également dans un cercle de rayon unité.

Au cours des deux premiers épisodes, nous avons obtenu cinq mesures approchées c₁ et c₂ du côté c d’un ennéagone régulier inscrit dans un cercle unité
On a c = 2sin(20°) = 0,6840402866551337….

Ce troisième épisode permet de tester une méthode qui fait appel aux racines carrées des entiers 2,3,5,etc… Les segments de longueur √k pour k = 2,3,5,…sont aisément constructibles à la règle et au compas à partir d’un segment unité.

Démontrer à l’aide d’un automate qu’on sait trouver des entiers relatifs p, q ,r, s, t, u dont la somme des valeurs absolues est inférieure à 20, tels que abs[p + q√2 + r√3 + s√5 + t√6 + u√7 - 2sin(20°)] <10 ^{– 6}.
Présenter la construction à la règle et au compas correspondante.