Les problèmes ouverts iront dans les archives quand ils seront résolus par les lecteurs ou quand ils seront restés plus de 4 mois en problèmes ouverts non résolus.
| A1899. La saga de Méphisto (3ème épisode) |
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Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui. 2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. 3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. Q1 Démontrer que les deux nombres entiers n et n + 2 sont des nombres premiers jumeaux si et seulement si la somme de leurs σ est égale au double du plus grand d’entre eux et la somme de leurs φ est égale au double du plus petit. Q2 Démontrer qu’un entier n est un nombre premier si et seulement si φ(n) divise n – 1 et n + 1 divise σ(n). Q3 Trouver au moins cinq entiers n positifs < 2021 tels que φ(σ(n)) = n Nota : les trois questions sont indépendantes  Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Gaston Parrour,Thérèse Eveilleau,Marc Humery et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème. |
