Dans un service d’urgence, trois médecins consultent simultanément. Les durées des consultations sont indépendantes les unes des autres, d’un médecin à l’autre et d’un patient à l’autre, et suivent toutes une loi exponentielle de durée moyenne 20 minutes. On note λ = 1/20 min^−1 son paramètre.
Les arrivées des patients dans le service sont indépendantes les unes des autres. Chaque patient  est pris en charge dans l’ordre de son arrivée dès qu’un médecin se libère.
Au moment où j’entre dans la salle d’attente, les trois médecins sont occupés et quatre patients arrivés avant moi attendent déjà leur tour.
Q₁. Un patient est déjà en consultation depuis m minutes chez l’un des médecins. Démontrer que, pour ce médecin, le temps restant avant la fin de cette consultation suit encore la même loi exponentielle de paramètre λ, indépendamment de m. En déduire la loi de probabilités du temps qui s’écoule avant que le premier des trois médecins ne se libère.[**]
Q₂. Déterminer la durée moyenne de mon attente avant d’être appelé par un médecin.[***]
Q₃. Pour les plus courageux :calculer la probabilité pour que mon temps d’attente soit supérieur à la durée moyenne calculée en Q₂.[****]