(20^ième épisode) [*** à la main]
Sur la droite qui porte le côté AC d’un triangle acutangle ABC, on trace le point D tel que AB = AD et le point A est situé entre C et D. On trace deux points E et F sur le cercle circonscrit au triangle DBC tels que AE = AF = BC. Démontrer que l’angle <BAC est égal à 60° si et seulement la droite [EF] passe par le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

(21^ème épisode) [** à la main]
Dans un triangle acutangle ABC, les pieds D et E des bissectrices issues de A et de B sur les côtés BC et AC sont tels que
AB + BD = AE + EB. Démontrer que l'angle <BAC est égal à 60° si et seulement si l’angle <ABC est égal à 80°.

(22^ème épisode) [** à la main]
Dans un triangle ABC, l'angle  <ACB égal à 75°. On construit le parallélogramme ABDC avec BD parallèle à AC et CD parallèle à AB. Soient M et N les milieux des côtés BD et CD. Démontrer que l'angle < BAC est égal à 60° si et seulement si les quatre points A,M,N,C sont cocycliques 

Nota: les trois épisodes sont indépendants.