G1907. La grande bouffe - G1907. La grande bouffe G1. Calcul des probabil... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 30

Problème proposé par Elie Stinès

Chaque année, à la fin du mois de janvier, la pâtissière impose à son mari, à leurs k ≥ 0 enfant(s) ainsi qu'à elle-même de déguster une partie des galettes des rois invendues (chacune comportant une fève).
Elle réchauffe une galette à la fois, qu'elle partage équitablement entre toutes les personnes présentes. Chacun mange sa part sitôt servie.
Afin d'être certaine d'écouler ainsi un nombre conséquent de galettes, la pâtissière annonce : "Personne ne s'arrêtera de manger avant que chacun n'ait eu la fève au moins une fois !''
On supposera qu'elle ne tombe jamais sur la fève au moment du découpage.
Donner dans chacun des cas suivants l’espérance mathématique des quantités englouties par le mari (l'unité étant la galette) :
1) Ils sont sans enfant
2) Ils ont un enfant
3) Ils ont deux enfants
4) Pour les plus courageux : ils ont k enfants ( k > 2)

Solution