A622. Un zeste de Kaprekar Imprimer
A6. Partages et partitions

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Diophante choisit deux entiers k et n avec k  3  et n  k2  puis il demande à Zig de trouver une partition de n en k entiers positifs et distincts de sorte qu’en les plaçant de manière adéquate le long de la circonférence d’un cercle il minimise la somme S des k produits des entiers adjacents pris deux à deux (1). Parallèlement, Diophante demande à Puce de faire le même exercice avec la partition de l’entier n + 14 en k – 1 entiers positifs et distincts. Tous calculs faits avec leurs couples respectifs (n,k) et (n + 14, k – 1) , Zig et Puce obtiennent la même somme minimale égale à la constante de Kaprekar 6174.
Déterminer les deux paramètres n et k choisis par Diophante.

(1) : Par exemple la partition de 11 avec les quatre entiers 2,1,3 et 5  pris dans cet ordre  le long d’un cercle donne S =2*1+1*3+3*5+5*2 = 30. Avec les entiers 1,5,3 et 2 pris dans cet ordre, on a S = 1*5 + 5*3 + 3*2+2*1 = 28. Dans les deux cas, S n’est pas minimale.


 Solution


pdfFabien Gigante, pdfJean Drabbe,pdfClaude Felloneau, pdfPierre Henri Palmade et pdfBernard Vignes ont résolu le problème et ont trouvé la solution n = 2013 et k = 12. Fabien Gigante fait remarquer que le problème a une parenté avec la deuxième question du problème G234-Pour le plaisir des macarons de Montmorillon.