A224. Le casse-tête de l'octogone Imprimer
A2. Algèbre élémentaire

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Je trace un octogone régulier (O) et j'inscris sur chacun de ses huit sommets un entier naturel positif. J'écris sur les milieux des côtés les différences en valeur absolue des nombres qui se trouvent aux extrémités de chacun des côtés de (O). J'obtiens ainsi huit nombres placés aux sommets d'un nouvel octogone. Je continue de former de nouveaux octogones en calculant à chaque étape les différences en valeur absolue des valeurs inscrites sur les sommets pris deux à deux. Il arrive un moment où tous les huit nombres sont nuls. Pourquoi ?

On désigne par k le nombre d'itérations qui sont nécessaires pour passer d'une séquence initiale S de huit entiers naturels > 0 à la séquence finale composée de huit zéros. Trouver S dont tous les termes sont < 1 000 000 qui maximise k et dont le plus grand terme est le plus petit possible ?

Score à battre: k = 74

 Solution


Fabien Gigante a résolu le problème en améliorant sensiblementle score k = 74 avec 88 itérations.La séquence qu'il a trouvée est la suivante: 0, 3192, 475668, 669451, 461078, 912970, 198748, 782608. Nouveau score à battre!
On trouvera dans le problème déjà diffusé sur le site de Diophante A149 "Les différences en cascades" la démonstration selon laquelle avec un polygone initial de 2n côtés, les différences en valeur absolue des nombres entiers inscrits sur les sommets des polygones successifs de 2n côtés sont toutes nulles après un nombre fini d'itérations. La séquence qui correspond à k = 74 a été obtenu avec la suite de "Heptonacci" définie par un+7=un+6+un+5+un+4+un+3+un+2+un+1+un.C'est la généralisation de la suite de Fibonacci avec 7 termes au lieu de 2 dans le deuxième membre. En prenant u1=1, u2=3, u3=5, u4=7, u5=9, u6=11,u7=13, on obtient u15=5905 et les termes suivants 11761, 23425, 46659, 92941, 185135,368785 et 734611 que l'on inscrit sur les sommets de l'octogone.
Antoine Verroken a réussi de son côté à obtenir le score de 74 itérations avec la séquence: 755476, 410744, 0, 0, 223317, 121415,0,0 90 qui est une suite de "Tribonacci" (suite de Fibonacci avec 3 termes). Il a par ailleurs obtenu 90 itérations avec, il est vrai, au départ des nombres entiers bien supérieurs au seuil de 1000000 qui avait été fixé. Il s'agit de la séquence :0, 3122171529233, 8864740270458,19426970897100, 0, 3122171529233, 8864740270458, 19426970897100.