Problème proposé par Thérèse Eveilleau
Diophante propose à Alice, Bernard, Caroline et Damien l'énigme suivante : une valeur entière n étant donnée, il s’agit de construire une suite de 2n entiers dans laquelle les entiers de 1 à n apparaissent chacun exactement deux fois, avec la contrainte que les deux occurrences de l'entier k sont séparées par exactement k positions.
Les quatre amis se voient attribuer respectivement les valeurs n = 7, 8, 9,10.
Q₁ Aidez les quatre amis à résoudre l’énigme.
Q₂ Pour les plus courageux disposant d’un automate : déterminez pour chacun d’eux le nombre de solutions possibles.

L'énoncé a donné lieu à deux interprétations différentes sur les positions respectives de deux entiers identiques:

- soit deux occurrences de l'entier k occupent les cases n° x et n° x + k et sont séparées par k – 1 cases. L'incrément pour passer de la première case à la seconde est égal à k. C'est la notion retenue par l'auteur du problème.
Dans ce cas il y a des solutions pour n= 8 et n = 9 et aucune solution pour n = 7 et n = 10
Ce sont les solutions de Daniel Collignon,Francesco Franzosi,Maurice Bauval,Pierrick Verdier,Pierre Leteurtre et Thérèse Eveilleau

- soit deux occsurences de l'entier k sont séparées par k cases et occupent les cases n°x et n° x + k + 1.
Dans ce cas il y a des solutions pour n= 7 et n = 8 et aucune solution pour n = 9 et n = 10.
Ce sont les solutions de Michel Goudard et Pierre Henri Palmade

A noter que dans un cas comme dans l'autre les suites font partie de la même famille de suites de Langford-Skolem.

Solution