Soit (T) un triangle dont les coordonnées des sommets dans un repère Oxy sont toutes entières.
Q₁ Le triangle ABC est un triangle (T) qui contient en son intérieur (au sens strict, c’est à dire côtés exclus) un seul point P de coordonnées entières. La demi-droite AP coupe BC en un point D. Trouvez la valeur maximale du ratio AP/PD. Justifiez votre réponse.
Q₂ Le triangle ABC est un triangle (T) qui contient en son intérieur (toujours au sens strict) deux points et deux seulement P et Q de coordonnées entières. Les demi-droites AP et AQ coupent BC en D et E. Trouvez la valeur maximale des ratios AP/PD et AQ/QE. Justifiez votre réponse.

 Solution

Bernard Vignes a résolu le problème dont la première question a été posée à la compétition Putnam de 1981(problème A6).
Les valeurs maximales des ratios, respectivement 5 dans Q₁ et 9 dans Q₂ ainsi que les configurations possibles des triangles dont les sommets sont de coordonnées entières et qui contiennent respectivement en leur intérieur un seul (ou deux seulement) points(s) de coordonnées entières s'obtiennent aisément avec le logiciel  Geogebra.