| E646. Cercles et coordonnées entières |
|
| E6. Autres casse-tête |
  
Q1 - Décrire un cercle dans le plan qui passe exactement par 7 points de coordonnées entières. Trouver un tel cercle de rayon minimum. Q2 - Tracer le minimum de cercles qui passent par les 49 points de coordonnées entières contenus dans un carré de dimension 6 dont les côtés sont parallèles aux axes Ox et Oy.
SolutionJean Moreau de Saint Martin et Fabien Gigante ont résolu les deux questions du casse-tête. Dans sa solution à la première question, Jean Moreau de Saint Martin donne une équation générale des cercles passant par 2k+1 points de coordonnés entières : 5x2 + 5 y2 - 2pkx = 0 avec p nombre premier congru à 1 ou 9 modulo 20. Ces cercles sont de même nature que les cercles de Schinzel que Daniel Collignon a identifiés à deux adresses du site de WolframMathWorld: http://mathworld.wolfram.com/SchinzelCircle.html http://mathworld.wolfram.com/CircleLatticePoints.html De son côté Patrick Combet a écrit un programme informatique qui permet de déterminer le rayon minimum de tous les cercles passant par des points de coordonnées entières. Ce rayon est égal à 25*racine(442) /22. Claudio Baiocchi confirme, comme nous l'avions indiqué, que cette première question a fait l'objet d'une rubrique sur le site IBM Ponder this en mai 2002:http://domino.research.ibm.com/Comm/wwwr_ponder.nsf/Challenges/May2002.html
S'agissant de la deuxième question, félicitations à Fabien Gigante qui a trouvé la configuration de 8 cercles suivante:
|
