E340. La variante valaisanne du problème impossible - E340. La variante valaisanne du problème impos...

Problème proposé par Augustin Genoud

Jules dit à Simon et à Paul qu’il a choisi deux entiers naturels supérieurs à 1 et inférieurs à 40. Il leur dit qu’il donne discrètement à Simon la somme de ces deux nombres, et qu’il donne discrètement à Paul le produit de ces deux nombres. Puis il leur demande de déterminer les deux nombres choisis. Après un bon moment de recherches de la part de Simon et Paul, s’instaure le dialogue suivant :
Simon dit à Paul : « Tu ne peux pas connaître ma somme. »
Un peu plus tard, Paul dit à Simon : « Grâce à toi, je connais maintenant ta somme. »
Quelques minutes plus tard, Simon dit à Paul : « Je connais alors ton produit »
Quels sont les nombres choisis pas Jules ?

Solution

Cette variante valaisanne du problème impossible de Freudhentahl*** a laissé à juste titre de nombreux lecteurs perplexes. En effet dès lors que Jules choisit deux entiers à l'intérieur de l'intervalle [2,40], comme l'expliquent Augustin Genoud et Jean Moreau de Saint Martin, les seules sommes possibles des deux nombres après la première déclaration de Simon sont 11,17 et 23. Pour chacune des valeurs de S, Paul dispose de plusieurs produits possibles et pour que Simon puisse répondre au troisième tour il faudrait qu'il y ait une somme à laquelle correspond un seul produit, ce qui n'est pas le cas. Le problème n'a donc pas de solution.

Dominique Chesneau propose de modifier le dialogue de la façon suivante en laissant inchangées les hypothèses sur les entiers choisis par Jules :
Simon : « Tu ne peux pas connaître ma somme. »
Paul : « Alors tu ne peux pas connaître mon produit. »
Simon : « Maintenant je connais ton produit. »
Paul : « Et je connais ta somme . »
La solution est alors unique : les nombres de Jules sont : 5 et 6.

***Nota: le problème impossible de Freudenthal a également fait l'objet d'une analyse approfondie dans la rubrique E306-Le grand classique des problèmes impossibles. Avec la somme des deux entiers choisis par Jules ≤ 100,on retient qu'il y a une solution unique (4,13).