D619. Deux fois sur trois - D619. Deux fois sur trois D6. Constructions ave... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de

On trace trois polygones réguliers, respectivement un pentadécagone (15 côtés), un heptadécagone (17 côtés) et un octadécagone (18 côtés). Deux sur trois peuvent être tracés avec une règle et un compas. Lesquels ?
Nota : on ne demande pas le tracé des deux polygones.

On numérote les sommets de chaque polygone de 1 à n (n = 15,17 et 18) dans le sens trigonométrique et à l’intérieur de chacun d’eux on trace trois cordes dont les extrémités sont désignés par les numéros des sommets (a,b) à savoir (1,6), (2,8) et (3,11) dans le pentadécagone, (1,7), (3,16) et (4,17) dans l’heptadécagone et enfin (1,8), (5,14) et (6,16) dans l’octadécagone. Les trois figures ci-après font croire que les trois cordes sont concourantes dans chacun des trois polygones.
Dans deux figures sur trois,c’est faux. Lesquelles ? Justifier votre réponse.

Solution

Claude Felloneau,Jean Moreau de Saint Martin,Michel Lafond,Patrick Gordon,Philippe Bertran,Yannick Huet,Maurice Bauval et Claudio Baiocchi ont résolu le problème et sont arrivés aux mêmes conclusions:
1) seuls le pentadécagone et l'heptadécagone sont constructibles avec la règle et le compas
2) seul l'octodécagone avait ses trois diagonales concourantes.
Claude Felloneau et Jean Moreau de Saint Martin nous signalent que le problème de l'intersection des diagonales dans un polygone régulier a été traité par Dominique Roux et Claude Morin dans l'article "Classification des noeuds diagonaux dans les polygones réguliers" du numéro 45 de la revue Quadrature .De manière générale on peut affirmer que dans un polygone régulier ayant un nombre impair de côtés, trois diagonales ne sont jamais concourantes, ce théorème ayant été démontré en 1962 par H.Heineken (texte en allemand).