D487. Le pavage de Pierre et de Thérèse Imprimer
D4. Pavage du plan et de l'espace - Dissection

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Problème proposé par Pierre Jullien et Thérèse Eveilleau:

D487eOn dispose de carreaux en céramique identiques qui ont la forme hexagonale de l’illustration ci-contre. Ils ont la caractéristique d’avoir deux côtés opposés parallèles et de même longueur.

Démontrer qu’il est possible de paver tout le plan avec ces carreaux sans chevauchement ni trous.
La caractéristique de deux côtés opposés et de même longueur est-elle nécessaire pour réaliser un pavage complet du plan  avec des carreaux  de forme hexagonale?









 Solution


pdfMichel Lafond et pdfPaul Voyer ont résolu le problème en prouvant d'abord qu'il est possible de paver tout le plan avec le carreau bleu de l'énoncé et en donnant ensuite l'exemple d'un pavage complet du plan avec des carreaux de forme hexagonale qui n'ont pas deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
Une précision importante mérite d'être apportée : la condition "deux côtés opposés parallèles et de même longueur" n'est pas suffisante.Les deux figures ci-après illustrent les deux configurations où respectivement les vecteurs A1B1 et D1E1 sont de même sens et les vecteurs A2B2 et D2E2 de sens opposé.
D487pfOn mène les parallèles à ces vecteurs passant par les points C1 et F1 dans la première figure et par C2 et F2 dans la deuxième.Dans la figure n°1, on constate qu’il est impossible de trouver un ou plusieurs hexagones susceptibles de paver le secteur B1A1F1 avec un angle en A1 de 27.51° qu’on ne retrouve dans aucune relation d'angles avec les autres sommets de l’hexagone primitif.
A l’inverse dans la figure n°2 l’angle B2C2D2 se décompose en angle A2B2C2 + angle C2D2E2.Par des retournements adéquats de l’hexagone primitif, le pavage du secteur B2C2D2 est donc toujours possible.
En conclusion, lorsqu'on trace le contour orienté ABCDEFA de l'hexagone, les vecteurs AB et DE doivent être de sens opposés.
On lira avec intérêt la contribution de l'auteur du problème pdfPierre Jullien avant de se rendre sur le site Bienvenue en Mathématiques magiques,où Thérèse Eveilleau présente deux très belles animations:- la première permet de s'entraîner à paver l'écran aves des hexagones particuliers ou des polygones à transformer.- la deuxième permet de transformer un quadrilatère quelconque en un hexagone "paveur" grâce à un vecteur de translation.