Les deux questions Q₁ et Q₂ sont indépendantes l'une de l'autre.

Q₁ Zig place les points A₁,A₂,A₃ et A₄ dans cet ordre sur la circonférence d'un cercle (Γ) puis il  trace la parallèle à A₁A₂ passant par A₄ qui coupe (Γ) en un deuxième point A₅.Il répète le processus en traçant la parallèle à A_iA_i+1***  passant par A_i+3 qui coupe (Γ) en un deuxième point Ai₊₄. Démontrer qu'après un nombre fini d'étapes, Zig obtient un  point qui se confond avec l'un des quatre points d'origine.
Qu'en est-il si les points A₁,A₂,A₃ et A₄ sont placés dans un ordre quelconque sur le cercle (Γ)?
***Nota: Si la parallèle à A_iA_i+1  passant par A_i+3 est tangente au cercle (Γ), alors A_i+4 = A_i+3

Q₂ Zig trace deux cercles (γ) et (γ') de même rayon r dont les centres O et O' sont à une distance d < r. Soit un point quelconque B₁ de (γ). Zig trace le segment  B₁B₂ = r avec B₂ choisi parmi les deux points possibles sur (γ') puis le segment  B₂B₃ = r avec le point B₃ sur (γ) autre que B₁. Il répète le processus en alternant les points B_i sur l'un des deux cercles et B_i+1 (autre que B_i-1) sur l'autre cercle tels que B_iB_i+1 = r. Démontrer qu'après un nombre fini d'étapes, Zig revient au point B₁.
Pour les plus courageux: Zig trace le cercle (γ) de rayon r puis le cercle (γ') de rayon r' < r centré sur la circonférence de (γ). A partir d'un point quelconque B₁ de (γ'), Zig trace successivement les points B₂,B₃,...en alternance sur les cercles (γ) et (γ') tels que B_iB_i+1 = r. Démontrer qu'après un nombre fini d'étapes, Zig revient au point B₁.

 Solution