Problème proposé par Claudio Baiocchi

On s’intéresse aux quadruplets {a,b,c,d} de nombres réels strictement positifs tels qu’il existe une quadrilatère convexe ayant ces nombres comme mesures des côtés, ce quadrilatère étant inscriptible dans le demi-cercle de diamètre d.
Montrer qu’il existe un polynôme P(x) de degré 3, à coefficients dépendants de a,b,c tel que le diamètre d satisfait P(d) = 0.Donner une description paramétrique des quadruplets.
Pour les plus courageux,discuter les cas où: 1) a,b,c,d sont commensurables, 2) d et les diagonales sont commensurables, 3) a,b,c,d et les diagonales sont commensurables.

 Solution