Problème proposé par Pierre Renfer
Soient ABC un triangle et I le centre de son cercle inscrit.
La perpendiculaire en I à (BI) coupe (BC) en D.
La perpendiculaire en I à (CI) coupe (CA) en E.
La perpendiculaire en I à (AI) coupe (AB) en F.
On note a, b, c les longueurs des côtés [BC], [CA], [AB].
On note r le rayon du cercle inscrit et ra, rb , rc les rayons des cercles exinscrits face à A, B, C.
On note S l’aire du triangle ABC et T l’aire du triangle DEF
Montrer que :

 Solution