D1739. Le cercle des huit points Imprimer
D1.Géométrie plane : triangles et cercles

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On trace un triangle ABC acutangle, son cercle circonscrit (Γ), son cercle inscrit (γ) de centre I et de rayon r, son orthocentre H. Les droites [AI],[BI] et [CI] coupent (Γ) en A’,B’,C’ milieux des arcs BC,CA et AB qui ne contiennent pas les sommets A,B et C.
On trace P,Q et R respectivement symétriques de A’,B’ et C’ par rapport aux côtés BC,CA et AB.
Le cercle (γ) touche les côtés AC et AB respectivement en D et E. On trace D’ et E’ diamétralement opposés à D et E sur (γ). Les droites [BD’] et [CE’] se rencontrent en un point N. On trace sur les hauteurs issues respectivement de A,B et C, les points U,V et W tels que AU = BV = CW = 2r.
Démontrez que les huit points H,N,P,Q,R,U,V et W sont sur un même cercle dont on précisera le centre ω.

 Solution

pdfThérèse Eveilleau,pdfPierre Leteurtre,pdfPierre Renfer et pdfKee-Wai Lau ont résolu le problème.
A noter que ce cercle des huit points n'est autre que le cercle de Fuhrmann décrit par pdfRoss Honsberger dans l'un de ses nombreux ouvrages Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry ( Chapter 6, pages 49-52).