D1724. Deux en un - D1724. Deux en un D1. Géométrie plane : trian... | Les jeux mathématiques de Diophante, plus de 3000 pro

L’énoncé ci-après regroupe deux problèmes d’olympiades chinoises de mathématiques, l’un et l’autre à la recherche de deux droites perpendiculaires.
Soit un triangle isocèle ABC de sommet A et dont l’angle en A est strictement inférieur à 60°. On trace le point D symétrique de A par rapport à B et le segment MI qui relie les milieux M et I de AB et de BC.
La perpendiculaire à la droite [AB] passant par M rencontre le cercle (Γ) circonscrit au triangle ACD en un point N situé du même côté que C par rapport à la droite [AB].
Sur la perpendiculaire à la droite [AB] passant par C, on trace le point J extérieur au triangle ABC tel que BJ = BI.
La médiatrice de BJ rencontre le cercle (γ) circonscrit au triangle ABI en un point K situé du même côté que C par rapport à la droite [AB].
Démontrer que :
Q₁ La droite [CN] est perpendiculaire à la droite [BC]
Q₂ La droite [IK] est perpendiculaire à la droite [IJ]
Nota :on peut tenir compte des résultats de la question Q₁ pour traiter la question Q₂ comme on peut considérer qu’elles sont indépendantes.

Solution