Sous le pseudonyme d'Alex, et pendant bon nombre d'années, Alphonse Blaive  a diffusé à ses camarades de la région Lyonnaise une feuille mensuelle d'énigmes mathématiques, ``Le problème d'Alex''.
Au printemps 2002,  il lançait un ``Appel au peuple'' pour la ``formule magique'' liant les rayons de quatre cercles tangents deux à deux dans le plan.  
Simple à énoncer, cette formule dit que la moyenne des carrés des courbures des 4 cercles est deux fois le carré de la moyenne de ces 4 courbures.
Sauriez-vous la démontrer ? 

Pour les plus courageux : établir la relation liant les rayons de quatre cercles tangents deux à deux et tracés sur la sphère unité.

Problème paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre  2021

 Solution

 
Outre les solutions reçues de Jean-Nicolas Pasquay et de Bernard Legrand, voici une solution par inversion et une solution par plongement dans l'espace à 3 dimensions.

Quant à l'extension à quatre cercles sur la sphère unité, elle peut aussi se traiter par inversion ou par plongement.

Voir la mise en équation de la conjecture selon laquelle ces cinq rayons sont incommensurables.